Với số ngulặng dương (n), tập vừa lòng toàn bộ những ma trận kích cỡ (n imes n) được đóng bí mật dưới phép tân oán cùng và nhân, chế tác thành một vành ko giao hoán. Định nghĩa phnghiền toán thù và nhân ma trận không được nhắc ở đây.
Bạn đang xem: Identity matrix là gì
Transpose Matrix
Nếu thay đổi sản phẩm thành cột, cột thành hàng của ma trận A ta được ma trận đưa vị (aka transpose matrix), ký hiệu là (A^T)
Có thể chứng tỏ được rằng:
<(AB)^T = B^TA^T>Determinant
Cho (A) là 1 trong ma trận vuông kích cỡ (n imes n). Ma trận nhỏ (submatrix) của (A) tương ứng cùng với thành phần (a_i,j), ký kết hiệu là (M_i,j) được suy ra bằng cách bỏ hàng (i) và cột (j) vào ma trận (A). Định thức của ma trận này Call là định thức nhỏ (minor).
Định thức của (A), ký kết hiệu (vert Avert) được quan niệm đệ qugiống như sau:
Nếu (n = 1), (vert Avert = A_1, 1) Nếu (n > 1),(từ bỏ chọn dòng (i) bất kỳ).
Biểu thức ((-1)^i+jvert M_i,jvert) còn được gọi là phú đại số (cofactor) của phần tử (a_i,j), ký hiệu (C_i,j). bởi thế, bí quyết tính định thức ma trận (A) hoàn toàn có thể phát biểu gọn: “Định thức ma trận (A) bởi tổng những ‘tích prúc đại số với phần tử tương ứng’ bên trên một sản phẩm hoặc một cột bất kỳ.”
Tính chất
(vert Avert = vert A^Tvert). Hệ quả: giả dụ một tính chất đã đúng cùng với hàng của định thức thì nó cũng giống cùng với cột. Đổi vị trí hai dòng (hoặc nhị cột) làm cho thay đổi vệt định thức. Một định thức tất cả chiếc toàn số 0 thì bằng 0. Nhân các phần tử của một mặt hàng hoặc một cột với cùng một hằng số (k) thì được định thức mới có mức giá trị bởi định thức cũ nhân với (k). Tips: lúc một mẫu / cột gồm ước phổ biến, ta hoàn toàn có thể gửi ước thông thường đó ra bên ngoài dấu định thức. Cộng bội (k) của một mặt hàng vào một trong những hàng không giống không thay đổi cực hiếm định thức. Nếu (A) với (B) là hai ma trận vuông cùng cung cấp, thì (vert ABvert = vert Avert vert Bvert)Nếu (A) gồm dạng sau:
Ma trận tam giác trên: (eginbmatrix a_1,1 và a_1,2 & dots & a_1,n\ 0 và a_2,2 và dots & a_2,n \ vdots và vdots & ddots và vdots \ 0 và 0 và dots & a_n,n \ endbmatrix)
Ma trận tam giác dưới: (eginbmatrix a_1,1 & 0 và dots & 0\ a_2,1 và a_2,2 & dots và 0 \ vdots & vdots và ddots & vdots \ a_n,1 & a_n,2 và dots và a_n,n \ endbmatrix)
Thì (vert Avert = prod^n_i=1 a_i,i) (tích các số trên phố chéo cánh chính)
Như vậy, thường thì nhằm tính định thức ta sử dụng những đặc thù nhằm thay đổi quý phái những định thức tương tự và đem lại ma trận tam giác rồi tính mang đến dễ.
Inverse Matrix
Identity Matrix
Ma trận đơn vị (thường xuyên ký kết hiệu là (I), aka identity matrix) là một ma trận vuông trong những số đó toàn bộ các số trên phố chéo cánh chủ yếu bởi 1, những thành phần còn sót lại bởi 0.
Cho (A) là 1 trong những ma trận thuộc cấp với (I), ta luôn có:
Invertible Matrix
Xét (A) là một ma trận vuông cấp cho (n), nếu mãi mãi một ma trận (B) cùng cấp làm thế nào để cho (AB = BA = I) thì (B) được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của (A). Lúc đó ta nói (A) khả đảo (inversible) cùng ko suy biến (non-degenerate)
Adjugate Matrix
Ma trận phụ đại số:
với (C_i,j) là phụ đại số tương xứng cùng với bộ phận (a_i,j) trong ma trận (A).
Ma trận (C^T) (ma trận gửi vị của (C)) Gọi là ma trận liên hợp (adjoint matrix).
Inverse Matrix
Ma trận nghịch hòn đảo của (A), ký hiệu (A^-1), được xem nhỏng sau:
Điều kiện buộc phải với đủ để vĩnh cửu (A^-1) là (vert Avert eq 0)
Tính chất
Giả sử (A) cùng (B) là nhị ma trận vuông cùng cấp (n) với khả hòn đảo. Lúc đó:
Tích (AB) cũng khả hòn đảo, và ((AB)^-1 = B^-1A^-1). (A^-1) cũng khả hòn đảo, cùng ((A^-1)^-1 = A). (A^m) cũng khả đảo, cùng ((A^m)^-1 = (A^-1)^m). (kA) cũng khả hòn đảo ((k eq 0)), và ((kA)^-1=frac1kA^-1)Linear System
Hệ phương thơm trình đường tính là 1 trong hệ (m) pmùi hương trình đại số số 1 với (n) ẩn số:
Hệ phương thơm trình trên có thể được viết lại thành một phương thơm trình giữa các ma trận: (Ax = b), với:
Nếu một hệ vuông tất cả (vert Avert eq 0) thì hệ này được Call là hệ Cramer. Nghiệm duy nhất của hệ Cramer bằng:
Gauss-Jordan Elimination
Augmented Matrix
Ma trận bổ sung (augmented matrix) được sinh ra bằng phương pháp ghnghiền (A) và (b) thành một ma trận new tất cả dạng:
Elementary Row Operations
lúc tiến hành các phnghiền biến đổi sau lên ma trận (M) sẽ không có tác dụng đổi khác hiệu quả của hệ, Gọi là phnghiền biến đổi mặt hàng sơ cấp:
Đổi địa điểm nhị sản phẩm Nhân một mặt hàng cùng với một số trong những không giống 0 Cộng bội (k) của một sản phẩm vào trong 1 sản phẩm khácGiải hệ vuông
Phương thơm pháp Gauss là cách thức giải hệ vuông bằng cách gửi (M) về dạng tam giác trên. khi đó, hệ hoàn toàn có thể giải một giải pháp đơn giản từ (x_n) dần về (x_1).
Phương thơm pháp Gauss-Jordan gồm sự biệt lập nhỏ: sau khi đưa (M) về dạng tam giác trên, ta thường xuyên đưa nó về dạng ma trận đơn vị chức năng.
Xem thêm: Chain Of Custody Là Gì - Chứng Nhận Fsc/Fm/Coc/Pefc
Tìm ma trận nghịch đảo
Pmùi hương pháp tìm ma trận nghịch hòn đảo của (A):
Áp dụng phép đổi khác sơ cung cấp mặt hàng lên (M) để lấy ma trận phía trái về (I). Hiện giờ, ma trận mặt yêu cầu là (A^-1).Hệ thuần nhất
Hệ thuần nhất luôn luôn bao gồm nghiệm (x = <0 0 dots 0>^T). Nghiệm này Call là nghiệm bình thường (trivial solution). Tuy nhiên chúng ta hay quyên tâm mang đến nghiệm ko tầm thường (non-trivial). Điều kiện phải cùng đủ để hệ thuần nhất tất cả nghiệm ko tầm thường là (vert Avert =0). Vì trường hợp (vert Avert eq 0) thì hệ đã tất cả nghiệm độc nhất vô nhị, và đó chỉ cần nghiệm đều đều.
Rank
Ma trận vuông cung cấp (k) suy tự (A) bằng phương pháp loại bỏ (m-k) mặt hàng với (n-k) cột Hotline là ma trận con cấp (k) của (A). Định thức của ma trận này gọi là định thức nhỏ cấp (k) của (A). Theo quan niệm, hạng của (A), cam kết hiệu (mathrmrank(A)) hoặc ( ho(A)), là cung cấp tối đa của một định thức bé không giống 0 trong (A).
Tuy nhiên trong thực hành thực tế chúng ta hi hữu Khi thực hiện khái niệm này nhằm tính hạng của ma trận. Ttốt vào đó, ta cần sử dụng các phxay chuyển đổi hàng sơ cung cấp lên (A) để đưa nó về dạng cầu thang. Các phxay đổi khác này không làm đổi khác hạng của ma trận.
Ma trận cầu thang theo sản phẩm (row echelon form) được quan niệm nlỗi sau:
Các hàng không giống 0 luôn luôn nằm ở sản phẩm 0 Giữa nhì sản phẩm không giống 0, bộ phận trước tiên khác 0 của hàng (Gọi là pivot) bên trên đề nghị nằm cạnh trái đối với thành phần trước tiên khác 0 của sản phẩm bên dưới. Các cột bao gồm cất pivot được điện thoại tư vấn là pivot columnVí dụ:
<eginbmatrix extbf1 & 3 và 0 và 5 và -1\0 và extbf-4 & 2 và 3 và -1\0 & 0 & 0 & extbf8 và -6endbmatrix>là 1 trong ma trận bậc thang
Tính chất:
Hạng của ma trận bậc thang thông qua số mẫu khác 0 của nó Mỗi mặt hàng (không giống sản phẩm 0) đều phải có một pivotKronecker - Capelli Theorem
Xét ma trận bổ sung cập nhật (M =
Lúc đó, ví như (k n).
Minh họa (mang sử (M) đã được mang lại row echelon form):
(kDo số phương thơm trình ít hơn số ẩn yêu cầu hệ có vô vàn nghiệm. Tức là, sẽ có:
(n-k) ẩn phụ, giỏi còn gọi là biến đổi tự do (independent/không tính tiền variable): bọn chúng đóng vai trò nhỏng tham số, có cực hiếm tự do, cùng (k) ẩn chính, xuất xắc nói một cách khác là biến đổi phụ thuộc vào (dependent variable): quý giá của bọn chúng sẽ được tra cứu theo ẩn phú.call (j_1, dots, j_n\) là những pivot column, lúc đó (x_j_1, dots, x_j_n\) là những ẩn thiết yếu, với số đông vươn lên là sót lại là ẩn phụ.
Nếu ta gửi các ẩn phụ sang vế đề nghị cùng duy trì các ẩn bao gồm vế trái, ta sẽ sở hữu một hệ con chính với (k) phương trình chính.
(k = n), hệ đang đến tương tự với hệ sau:Chú ý: lúc tìm kiếm hạng của (M), mặc dù các phxay biến hóa cột cũng đã tạo ra hiệu quả hy vọng muốn, song ma trận bậc thang sau cùng hoàn toàn có thể không thực hiện được mang đến hệ phương trình. Chính vì thế, biện pháp tốt nhất là chỉ dùng phxay đổi khác sơ cấp hàng để đưa (M) về dạng bậc thang, Tóm lại hạng của (M), kết luận số nghiệm, thực hiện ma trận cầu thang tìm kiếm được để ra đời hệ phương thơm trình mới (minc họa sống trên), và giải search nghiệm. Làm những điều đó sẽ không có hễ tác vượt trong quá trình có tác dụng bài bác.